Bruger:PerHenrikChristiansen/sandkasse

Andengradsligning

Figur 1: Parabel

En andengradsligning er en ligning, der (som matematikere ofte siger) kan skrives på formen:

$ax^{2}+bx+c\ =0$,

idet a, b og c er såkaldte konstanter, der repræsenterer kendte eller ukendte talværdier. Andengradsligningen bruges især, når man skal beregne, hvor en parabel, bestemt ved andengradspolynomiet:

$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\$

eventuelt skærer x-aksen og har sit toppunkt $\left(s,t\right)$, givet ved:

$s={\frac {-b}{2a}}$ og $t={\frac {-d}{4a}}$,

idet den såkaldte diskriminant $d=b^{2}-4ac$.

Skærer parablen x-aksen to steder, som det er tilfældet i figur 1, er skæringspunkternes førstekoordinater bestemt ved:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}$ og $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}$,

mens andenkoordinaterne selvsagt begge er nul. Har ligningen kun én rod, er skærings- eller rettere røringspunktet sammenfaldende med toppunktet. De for dette og eventuelle skæringer anførte formler findes også på nettet og i diverse lærebøger, men har man ikke adgang til sådanne kilder, og kan man heller ikke huske formlerne, er det (med kendskab til elementær matematik) relativt let at regne sig frem til disse. Hvordan det kan gøres, skal vi se nu:

Toppunktet bestemmes

Da parablen er symmetrisk omkring den lodrette, stiplede linje, der går gennem toppunktet (se figur 1), kan s beregnes ved at bestemme x i nedenstående ligning, hvor h er et vilkårligt reelt tal:

$f\ \left(x-h\right)=f\left(x+h\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(x-h\right)^{2}+b\left(x-h\right)=a\left(x+h\right)^{2}+b\left(x+h\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(x-h\right)^{2}-a\left(x+h\right)^{2}=b\left(x+h\right)-b\left(x-h\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(\left(x-h\right)^{2}-\left(x+h\right)^{2}\right)=b\left(\left(x+h\right)-\left(x-h\right)\right)\Longleftrightarrow$

$a\left(\left(\left(x-h\right)+\left(x+h\right)\right)\left(\left(x-h\right)-\left(x+h\right)\right)\right)=b\left(h+h\right)$,

idet vi netop har anvendt reglen, ifølge hvilken det gælder, at differencen mellem to tals kvadrater er lig med de to tals sum ganget med de samme to tals differens. Her er de to tal ( x - h ) og ( x + h ). Efter hævning af diverse parenteser og yderligere reduktion finder vi, at:

$a\left(\left(x+x\right)\left(-h-h\right)\right)=2bh\Longleftrightarrow$

$2ax\left(-2h\right)=2bh\Longleftrightarrow 2ax=-b\Longrightarrow$

$s={\frac {-b}{2a}}$.

Med fundet af toppunktets x-værdi s kan andenkoordinaten t bestemmes således:

$t=f\left({\frac {-b}{2a}}\right)$

$=as^{2}+bs+c$

$=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}\right)+c$

$={\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-b^{2}}{2a}}+c$

$={\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {-2b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}$

$={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Longleftrightarrow$

$t={\frac {-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a}}={\frac {-d}{4a}}$.

Rødderne bestemmes

Med fundet af toppunktet kan andengradsligningen nu også bestemmes således:

$a\left(x-s\right)^{2}+t=0\Longleftrightarrow$**)

$a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-d}{4a}}=0\Longleftrightarrow$

$a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}={\frac {d}{4a}}\Longleftrightarrow$

$\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}={\frac {d}{4a^{2}}}\Longleftrightarrow$

$x-{\frac {-b}{2a}}={\frac {\sqrt {d}}{2a}}\Longrightarrow$

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}$ og $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}$.

Med fundet af røddernes førstekoordinater $x_{1}$ og $x_{2}$ kan andengradspolynomiet (parablens ligning), nu også skrives sådan:

$y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$.

Bevis for parablens symmetri

Hvis parablen er symmetrisk omkring s, og h er et vilkårligt reelt tal, så gælder det for alle værdier af h, at:

$f\left(s+h\right)=f\left(s-h\right)\Longleftrightarrow$

$f\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-h\right).$

Vi finder nu (enten manuelt eller ved hjælp af en CAS-regner), at

$f\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+h\right)+c=-{\frac {d}{4a}}+ah^{2}$, og

$f\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)=a\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}-h\right)+c=-{\frac {d}{4a}}+ah^{2}$.

Eftersom højresiderne i begge tilfælde er ens, kan vi konkludere, at venstresiderne også er det. Sættes h lig med nul, ser vi, at toppunktets andenkoordinat t i alle tilfælde er givet ved:

$t={\frac {-d}{4a}}$ , og hermed er beviset fuldført.

**) Skrivemåden $a\left(x-s\right)^{2}+t=0$ fås på følgende måde:

$y=a\left(x-s\right)^{2}+t\Longleftrightarrow$

$y=a\left(x^{2}+s^{2}-2sx\right)+t\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}-2asx+as^{2}+t.$

Nu indsættes formlerne for s og t:

$y=ax^{2}-2a\left({\frac {-b}{2a}}\right)x+a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a}}\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\Longleftrightarrow$

$y=ax^{2}+bx+c\Longrightarrow$

$ax^{2}+bx+c=0.$